Livret de révision — Épreuve anticipée de mathématiques Première ST2S 2026 Présentation du livret Ce livret regroupe, dans cet ordre : Toutes les questions et tous les exercices sont conçus pour être traités sans calculatrice.

L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.

Préambule : méthodes et automatismes de calcul mental Calculer mentalement des pourcentages (technique)
  1. Calculer $10\,\%$ de $148$.
  2. En déduire $5\,\%$ de $148$, puis $20\,\%$ de $148$ et $15\,\%$ de $148$.
  3. Comment utiliser les résultats précédents pour déterminer $1\,\%$ de $148$, $11\,\%$ de $148$ et $6\,\%$ de $148$ ?
  4. Calculer $50\,\%$ de $680$, $25\,\%$ de $680$ et $75\,\%$ de $680$.
  5. Calculer $3\,\%$ de $10\,000$ et $4\,\%$ de $5\,000$.
 Pourcentages mentaux (prolongement)
  1. Calculer $10\,\%$ de $240$, puis $5\,\%$ de $240$ et $15\,\%$ de $240$.
  2. Calculer $25\,\%$ de $36$, de $120$, de $880$.
  3. Calculer $2\,\%$ de $500$ ; $20\,\%$ de $500$ ; $200\,\%$ de $500$.
  4. Calculer $30\,\%$ de $70$ et $70\,\%$ de $30$. Que remarque-t-on ?
  5. Calculer $1\,\%$ de $4\,500$ puis $11\,\%$ de $4\,500$.
 Pourcentages mentaux (cas moins évidents)
  1. Calculer environ $33\,\%$ (c'est-à-dire $\tfrac{1}{3}$) de $900$ et de $150$.
  2. Calculer $12\,\%$ de $50$ en utilisant $10\,\%$ et $2\,\%$.
  3. Calculer $40\,\%$ de $250$ en utilisant $10\,\%$.
  4. Déterminer $19\,\%$ de $200$ et $19\,\%$ de $300$.
  5. Calculer $0,5\,\%$ de $200$ et $0,1\,\%$ de $5\,000$.
 Augmentations et diminutions en pourcentages (1) Compléter la troisième ligne du tableau.
Montant$230$ €$780$ €$520$ €$1\,200$ €$80$ €$5\,000$ €$2\,600$ €
Évolution$+10\,\%$$+5\,\%$$+15\,\%$$-10\,\%$$-5\,\%$$-20\,\%$$+25\,\%$
Nouveau montant
 Augmentations et diminutions en pourcentages (2) Compléter la troisième ligne du tableau.
Montant$5\,000$ €$8\,000$ €$740$ €$128$ €$88$ €$2\,000$ €$1\,300$ €
Évolution$+1\,\%$$-1\,\%$$+100\,\%$$-10\,\%$$-5\,\%$$-8\,\%$$-25\,\%$
Nouveau montant
 Augmentations et diminutions successives Compléter le tableau.
Montant initial$400$ €$1\,000$ €$200$ €$50$ €$600$ €
Première évolution$+10\,\%$$+5\,\%$$-10\,\%$$+20\,\%$$-50\,\%$
Deuxième évolution$+10\,\%$$-5\,\%$$-10\,\%$$-20\,\%$$+50\,\%$
Montant final
 Fractions, écriture décimale et pourcentage (1) Compléter le tableau ci-dessous.
Fraction$\dfrac{3}{10}$$\dfrac{1}{5}$$\dfrac{2}{5}$$\dfrac{3}{5}$$\dfrac{4}{5}$$\dfrac{7}{5}$$\dfrac{1}{4}$$\dfrac{3}{4}$$\dfrac{67}{100}$$\dfrac{187}{1\,000}$$\dfrac{1}{20}$$\dfrac{1}{50}$
Écriture décimale
Pourcentage
 Fractions, écriture décimale et pourcentage (2) Compléter le tableau ci-dessous.
Fraction$\dfrac{1}{2}$$\dfrac{1}{10}$$\dfrac{1}{100}$$\dfrac{1}{1\,000}$$\dfrac{9}{10}$$\dfrac{11}{10}$$\dfrac{1}{25}$$\dfrac{3}{25}$$\dfrac{9}{20}$$\dfrac{125}{1\,000}$
Écriture décimale
Pourcentage
 Convertir des fractions en pourcentages (1) Compléter la deuxième ligne du tableau.
Fraction$\dfrac{36}{100}$$\dfrac{37}{50}$$\dfrac{68}{200}$$\dfrac{12}{25}$$\dfrac{7}{10}$$\dfrac{13}{20}$$\dfrac{897}{1\,000}$$\dfrac{340}{500}$$\dfrac{1\,500}{2\,000}$
Pourcentage
 Convertir des fractions en pourcentages (2) Compléter la deuxième ligne du tableau.
Fraction$\dfrac{6}{100}$$\dfrac{45}{50}$$\dfrac{120}{200}$$\dfrac{9}{25}$$\dfrac{3}{10}$$\dfrac{17}{20}$$\dfrac{450}{1\,000}$$\dfrac{125}{500}$$\dfrac{750}{1\,000}$
Pourcentage
 Proportions dans une population
  1. Dans une classe de $25$ élèves, $15$ sont des filles. Exprimer la proportion de filles en fraction irréductible, en écriture décimale et en pourcentage.
  2. Dans un service hospitalier de $200$ patients, $50$ ont plus de $65$ ans. Exprimer la proportion en fraction irréductible et en pourcentage.
  3. Sur $500$ personnes interrogées, $320$ déclarent pratiquer un sport. Exprimer la proportion en pourcentage.
  4. Sur $1\,000$ échantillons testés, $25$ sont positifs. Exprimer la proportion en pourcentage.
 Puissances de 10 (1)
  1. Déterminer la valeur de l'entier $n$ pour que l'égalité suivante soit vraie : $0,000\,052\,8 \times 10^3 = 5,28 \times 10^n$.
  2. Déterminer le plus grand des deux nombres $135\,000 \times 10^{-8}$ et $547 \times 10^{-5}$.
  3. L'égalité $\dfrac{16,4 \times 10^{-9}}{10^{-12}} = 0,164 \times 10^4$ est-elle vraie ?
 Puissances de 10 (2)
  1. Écrire en écriture scientifique : $45\,000$ ; $0,0034$ ; $250\,000\,000$ ; $0,000\,000\,9$.
  2. Écrire sous la formule d'une seule puissance de $10$ les nombres suivants : $10^5 \times 10^{-3}$ ;  $\dfrac{10^7}{10^{-2}}$ ;  $\left(10^{-4}\right)^2$.
  3. Donner l'écriture scientifique de : $(3 \times 10^2) \times (5 \times 10^{-5})$.
 Puissances de 10 (3)
  1. Donner un ordre de grandeur : $197\,000$ ; $0,000\,389$ ; $5\,200\,000$.
  2. Comparer $3 \times 10^6$ et $28 \times 10^5$.
  3. Ranger dans l'ordre croissant : $4,2 \times 10^{-3}$ ; $3 \times 10^{-2}$ ; $25 \times 10^{-4}$ ; $10^{-2}$.
 Manipuler des fractions (1) Écrire sous la forme d'une fraction irréductible les nombres suivants : $$A = \dfrac{7}{10}+\dfrac{7}{50}+\dfrac{7}{500}~;\quad B = \dfrac{250}{5\,000}+\dfrac{7}{10}~;\quad C = \dfrac{4}{7}-\dfrac{7}{8}~;\quad D = \dfrac{1+\dfrac{1}{3}}{2+\dfrac{5}{3}}.$$ Manipuler des fractions (2) Écrire sous la forme d'une fraction irréductible les nombres suivants : $$E = \dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{15}~;\quad F = \dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3}~;\quad G = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{16}~;\quad H = \dfrac{4}{9} \div \dfrac{8}{3}.$$ Comparer des fractions Comparer chaque couple de fractions, en justifiant brièvement :
  1. $\dfrac{3}{7}$ et $\dfrac{2}{5}$
  2. $\dfrac{7}{12}$ et $\dfrac{5}{9}$
  3. $\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{5}{8}$
  4. $\dfrac{9}{11}$ et $\dfrac{8}{10}$
 Convertir des durées (heures et minutes) (1) Compléter les deux tableaux suivants.
Durée en heures$3$ h$8,5$ h$2,25$ h$0,75$ h
Durée en minutes
Durée en minutes$15$ min$75$ min$20$ min$72$ min
Durée en heures
 Convertir des durées (2) Compléter le tableau suivant.
Durée (h min)$1$ h $30$ min$2$ h $15$ min$3$ h $45$ min$0$ h $50$ min$4$ h $06$ min
Durée en heures (décimale)
Durée en minutes
 Convertir des grandeurs usuelles
  1. $2,5$ m = … cm ;  $450$ cm = … m.
  2. $3$ kg = … g ;  $750$ g = … kg.
  3. $1,2$ L = … mL ;  $35$ cL = … L.
  4. $4\,500$ mg = … g ;  $0,8$ t = … kg.
 Ordres de grandeur et estimations Associer chaque opération à l'ordre de grandeur le plus proche.
Opérations
  1. $19 \times 51$
  2. $98 \times 41$
  3. $\dfrac{407}{19}$
  4. $\dfrac{2\,987}{29}$
  5. $29\,000 \times 52\,000$
  6. $3 \times 30 \div 28$
Ordres de grandeur
  1. $20$
  2. $100$
  3. $3$
  4. $1\,000$
  5. $4\,000$
  6. $1\,500\,000\,000$
 Automatismes

Pour chaque question QCM, une seule réponse est exacte ; aucune justification n'est demandée.

Proportions et pourcentages
  1. Dans une classe de 30 élèves, 12 sont des garçons. La proportion de garçons dans la classe est :
    A. $12\,\%$B. $20\,\%$C. $30\,\%$D. $40\,\%$
  2. $25\,\%$ de $80$ est égal à :
    A. $20$B. $25$C. $40$D. $55$
  3. $10\,\%$ de $10\,\%$ correspond à :
    A. $20\,\%$B. $1\,\%$C. $100\,\%$D. $0,1\,\%$
  4. Dans un hôpital, $60\,\%$ des patients sont des femmes et, parmi elles, $25\,\%$ sont âgées de plus de 70 ans. La proportion de femmes de plus de 70 ans dans l'hôpital est :
    A. $85\,\%$B. $35\,\%$C. $15\,\%$D. $50\,\%$
  5. Un article coûte $60$ €. Il est vendu avec une remise de $15\,\%$. Le nouveau prix est :
    A. $51$ €B. $45$ €C. $55$ €D. $9$ €
  6. Le tiers de la moitié d'une quantité correspond à :
    A. $\dfrac{1}{6}$B. $\dfrac{2}{3}$C. $\dfrac{1}{5}$D. $\dfrac{3}{2}$
  7. Sur $200$ personnes testées, $30$ sont positives. La proportion de positifs est :
    A. $3\,\%$B. $30\,\%$C. $15\,\%$D. $6\,\%$
  8. $75\,\%$ de $400$ est :
    A. $100$B. $200$C. $300$D. $325$
  9. Un article qui coûte $40$ € subit une augmentation de $50\,\%$. Son nouveau prix est :
    A. $40,5$ €B. $60$ €C. $45$ €D. $90$ €
  10. Dans un lycée, $48\,\%$ des élèves sont en ST2S. Sur $500$ élèves, le nombre d'élèves en ST2S est :
    A. $240$B. $48$C. $480$D. $250$
  11. La proportion $\dfrac{3}{20}$ exprimée en pourcentage est :
    A. $3\,\%$B. $15\,\%$C. $20\,\%$D. $30\,\%$
  12. Sur $50$ patients, $20$ sont fumeurs. La proportion de non fumeurs est :
    A. $40\,\%$B. $30\,\%$C. $60\,\%$D. $20\,\%$
  13. Une remise de $20\,\%$ est appliquée sur un produit à $75$ €. Le prix remisé est :
    A. $55$ €B. $60$ €C. $15$ €D. $50$ €
  14. $40\,\%$ des élèves d'un lycée sont des garçons. Parmi les garçons, $25\,\%$ sont internes. La proportion de garçons internes dans le lycée est :
    A. $10\,\%$B. $65\,\%$C. $15\,\%$D. $100\,\%$
  15. Dans un service hospitalier, on compte $120$ patients dont $90$ ont plus de 60 ans. La proportion de patients de plus de 60 ans est :
    A. $25\,\%$B. $30\,\%$C. $75\,\%$D. $90\,\%$
Évolutions et variations
  1. Augmenter de $15\,\%$ revient à multiplier par :
    A. $0,15$B. $1,15$C. $0,85$D. $15$
  2. Diminuer de $25\,\%$ revient à multiplier par :
    A. $0,25$B. $1,25$C. $0,75$D. $0,5$
  3. Multiplier une quantité par $1,3$ correspond à :
    A. une hausse de $3\,\%$B. une hausse de $30\,\%$C. une hausse de $130\,\%$D. une baisse de $30\,\%$
  4. Multiplier une quantité par $0,9$ correspond à :
    A. une baisse de $9\,\%$B. une baisse de $10\,\%$C. une hausse de $10\,\%$D. une baisse de $90\,\%$
  5. Un prix augmente de $20\,\%$ puis diminue de $20\,\%$. Sur l'ensemble, le prix :
    A. ne change pasB. baisse de $4\,\%$C. augmente de $4\,\%$D. baisse de $40\,\%$
  6. Un prix augmente de $10\,\%$ puis augmente encore de $10\,\%$. Le taux d'évolution global est :
    A. $20\,\%$B. $21\,\%$C. $100\,\%$D. $11\,\%$
  7. Un prix augmente de $50\,\%$ puis diminue de $50\,\%$. Le taux d'évolution global est :
    A. $0\,\%$B. $-25\,\%$C. $+25\,\%$D. $-50\,\%$
  8. Un prix double. Cela correspond à une évolution de :
    A. $+50\,\%$B. $+100\,\%$C. $+200\,\%$D. $+2\,\%$
  9. Le nombre de patients d'un service est passé de $80$ à $100$. Cela représente une évolution de :
    A. $+20\,\%$B. $+25\,\%$C. $+80\,\%$D. $+125\,\%$
  10. Le nombre de patients est passé de $200$ à $150$. Cela représente une évolution de :
    A. $-25\,\%$B. $-50\,\%$C. $-75\,\%$D. $-33\,\%$
  11. Un prix subit deux évolutions successives : $+10\,\%$ puis $-10\,\%$. Le coefficient multiplicateur global est :
    A. $1$B. $1,1 \times 0,9$C. $1,2$D. $0,8$
  12. Un salaire passe de $1\,500$ € à $1\,800$ €. Le taux d'évolution est :
    A. $+20\,\%$B. $+30\,\%$C. $+18\,\%$D. $+15\,\%$
  13. Un article dont le prix est indiqué en indice base 100 en 2020 a pour indice $120$ en 2025. Le prix a :
    A. baissé de $20\,\%$B. augmenté de $20\,\%$C. augmenté de $120\,\%$D. augmenté de $12\,\%$
  14. Un indice passe de $100$ à $80$. L'évolution correspondante est :
    A. $-20\,\%$B. $+20\,\%$C. $-80\,\%$D. $-25\,\%$
  15. Un prix a augmenté de $25\,\%$. Le taux d'évolution réciproque permettant de revenir au prix initial est :
    A. $-25\,\%$B. $-20\,\%$C. $-15\,\%$D. $-75\,\%$
  16. Un prix a diminué de $20\,\%$. Le taux d'évolution réciproque permettant de revenir au prix initial est :
    A. $+20\,\%$B. $+25\,\%$C. $+80\,\%$D. $-20\,\%$
  17. Un prix augmente de $100\,\%$. Pour revenir au prix initial, il faudrait le multiplier par :
    A. $0$B. $\dfrac{1}{2}$C. $\dfrac{1}{100}$D. $2$
  18. Deux hausses successives de $10\,\%$ et $20\,\%$ correspondent à un coefficient multiplicateur global de :
    A. $1,3$B. $1,32$C. $1,2$D. $0,88$
  19. Une quantité est multipliée par $0,5$. Le taux d'évolution est :
    A. $-50\,\%$B. $+50\,\%$C. $-5\,\%$D. $-5000\,\%$
Calcul numérique et algébrique
  1. $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$ est égal à :
    A. $\dfrac{2}{5}$B. $\dfrac{1}{6}$C. $\dfrac{5}{6}$D. $\dfrac{2}{6}$
  2. $\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{2}$ est égal à :
    A. $\dfrac{1}{4}$B. $\dfrac{2}{2}$C. $\dfrac{1}{2}$D. $\dfrac{2}{4}$
  3. $\dfrac{2}{3}\times \dfrac{9}{4}$ est égal à :
    A. $\dfrac{18}{12}$B. $\dfrac{11}{12}$C. $\dfrac{3}{2}$D. $\dfrac{8}{27}$
  4. $\dfrac{3}{5} \div \dfrac{6}{10}$ est égal à :
    A. $1$B. $\dfrac{18}{50}$C. $\dfrac{30}{30}$D. $\dfrac{3}{6}$
  5. Le plus grand des nombres $\dfrac{3}{5}$, $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{7}{10}$ est :
    A. $\dfrac{3}{5}$B. $\dfrac{1}{2}$C. $\dfrac{7}{10}$D. ils sont égaux
  6. $10^3 \times 10^{-5}$ est égal à :
    A. $10^{-2}$B. $10^{-15}$C. $10^{8}$D. $10^{2}$
  7. $\dfrac{10^8}{10^3}$ est égal à :
    A. $10^{11}$B. $10^{24}$C. $10^{5}$D. $10^{-5}$
  8. $(2 \times 10^3)^2$ est égal à :
    A. $2 \times 10^6$B. $4 \times 10^6$C. $4 \times 10^5$D. $2 \times 10^5$
  9. L'écriture scientifique de $45\,000$ est :
    A. $45 \times 10^3$B. $4,5 \times 10^4$C. $0,45 \times 10^5$D. $4,5 \times 10^3$
  10. L'écriture décimale de $\dfrac{3}{4}$ est :
    A. $0,25$B. $0,34$C. $0,75$D. $0,43$
  11. $\sqrt{49}$ est égal à :
    A. $6$B. $7$C. $8$D. $9$
  12. L'équation $x^2 = 25$ admet pour ensemble de solutions :
    A. $\{5\}$B. $\{-5\}$C. $\{-5~;~5\}$D. $\{12,5\}$
  13. L'équation $x^2 = -4$ admet pour ensemble de solutions :
    A. $\{-2\}$B. $\{2\}$C. $\{-2~;~2\}$D. $\varnothing$
  14. L'équation $3x - 12 = 0$ a pour solution :
    A. $x=-4$B. $x=4$C. $x=\dfrac{1}{4}$D. $x=-12$
  15. L'équation $2x + 5 = 9$ a pour solution :
    A. $x=2$B. $x=-2$C. $x=7$D. $x=\dfrac{1}{2}$
  16. L'inéquation $-2x + 6 \leqslant 0$ a pour ensemble de solutions :
    A. $[3~;~+\infty[$B. $]-\infty~;~3]$C. $]-\infty~;~-3]$D. $[-3~;~+\infty[$
  17. Développer $(x-5)^2$ donne :
    A. $x^2 + 25$B. $x^2 - 25$C. $x^2 - 10x + 25$D. $x^2 + 10x + 25$
  18. Développer $(x+3)(x-3)$ donne :
    A. $x^2 + 9$B. $x^2 - 9$C. $x^2 + 6x - 9$D. $x^2 + 6x + 9$
  19. Factoriser $x^2 - 9$ donne :
    A. $(x-3)^2$B. $(x+3)^2$C. $(x-3)(x+3)$D. $(x-9)(x+1)$
  20. On considère l'égalité $S = a(1+t)$. En isolant $t$, on obtient :
    A. $t = \dfrac{S}{a}-1$B. $t=S-a-1$C. $t=\dfrac{S-1}{a}$D. $t=a(S-1)$
  21. Le signe de l'expression $-2x+6$ est :
    A. positif sur $]-\infty~;~3]$B. positif sur $[3~;~+\infty[$C. toujours positifD. toujours négatif
  22. L'expression $(x-2)(x+1)$ est positive sur :
    A. $[-1~;~2]$B. $]-\infty~;~-1]\cup[2~;~+\infty[$C. $[-2~;~1]$D. $]-\infty~;~-2]\cup[1~;~+\infty[$
  23. Une durée de $1$ h $45$ min correspond à :
    A. $1,45$ heureB. $1,75$ heureC. $1,80$ heureD. $105$ min
  24. $0,2 \times 500$ est égal à :
    A. $10$B. $100$C. $50$D. $25$
  25. $\dfrac{200}{0,5}$ est égal à :
    A. $100$B. $400$C. $40$D. $1\,000$
  26. Un ordre de grandeur de $49\,860$ est :
    A. $10^3$B. $5 \times 10^4$C. $5 \times 10^5$D. $5 \times 10^3$
Fonctions et représentations graphiques
  1. Soit $f(x)=2x+3$. $f(-1)$ vaut :
    A. $1$B. $5$C. $-1$D. $-5$
  2. Soit $f(x)=x^2-4$. $f(3)$ vaut :
    A. $5$B. $9$C. $13$D. $-1$
  3. La droite d'équation $y=-2x+5$ a pour coefficient directeur :
    A. $5$B. $2$C. $-2$D. $-5$
  4. La droite d'équation $y=3x-2$ passe par le point :
    A. $(0~;~-2)$B. $(0~;~2)$C. $(1~;~0)$D. $(3~;~-2)$
  5. Une droite passe par les points $A(0~;~1)$ et $B(2~;~5)$. Son coefficient directeur est :
    A. $2$B. $\dfrac{1}{2}$C. $3$D. $-2$
  6. Une droite a pour coefficient directeur $-3$ et passe par $(0~;~4)$. Son équation réduite est :
    A. $y=-3x+4$B. $y=4x-3$C. $y=3x+4$D. $y=-4x-3$
  7. Soit $f$ la fonction représentée par la droite d'équation $y=-x+2$. L'antécédent de $0$ par $f$ est :
    A. $0$B. $-2$C. $2$D. $-1$
  8. La fonction $f: x \mapsto x^2$ est :
    A. croissante sur $\mathbb{R}$B. décroissante sur $\mathbb{R}$C. décroissante sur $]-\infty~;~0]$D. croissante sur $]-\infty~;~0]$
  9. La fonction $f: x \mapsto x^3$ est :
    A. croissante sur $\mathbb{R}$B. décroissante sur $\mathbb{R}$C. constanteD. décroissante sur $[0~;~+\infty[$
  10. L'équation $x^3 = 8$ a pour solution :
    A. $x=2$B. $x=-2$C. $x=3$D. $x=4$
  11. La parabole d'équation $y=(x-1)(x-3)$ coupe l'axe des abscisses en :
    A. $x=1$ et $x=-3$B. $x=-1$ et $x=3$C. $x=1$ et $x=3$D. $x=0$ seulement
  12. Le sommet de la parabole d'équation $y = (x-2)^2 - 5$ a pour coordonnées :
    A. $(2~;~-5)$B. $(-2~;~5)$C. $(2~;~5)$D. $(-2~;~-5)$
  13. Un polynôme de degré 2 de la forme $a(x-x_1)(x-x_2)$ (avec $x_1 < x_2$) est positif entre $x_1$ et $x_2$ lorsque :
    A. $a>0$B. $a<0$C. $a=0$D. toujours
  14. La fonction $f$ définie par $f(x)=(x-1)^2$ atteint son minimum en :
    A. $x=0$B. $x=1$C. $x=-1$D. $x=2$
  15. La droite d'équation $y = 4$ est :
    A. verticaleB. horizontaleC. confondue avec l'axe des abscissesD. passant par l'origine
Lectures graphiques
  1. On considère la droite $D$ représentée ci-dessous. L'équation réduite de $D$ est : board.create('functiongraph',[function(x){return 0.5*x-1;},-4,4],{strokeColor:'red',strokeWidth:2,name:'',withLabel:true}); board.create('text',[4.2,1.2,'$D$'], {strokeColor:'red'});
    A. $y=2x-1$B. $y=\dfrac{1}{2}x-1$C. $y=-\dfrac{1}{2}x+1$D. $y=x-1$
  2. La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous représente une fonction $f$. D'après le graphique, $f(1)$ est environ égal à : board.create('functiongraph',[function(x){return 0.3*x*x-1.2*x-0.5;},-3,4],{strokeColor:'blue',strokeWidth:2,name:'C',withLabel:true});
    A. $1$B. $-1,4$C. $0$D. $-2,6$
  3. Dans la figure ci-dessous, les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ représentent respectivement $f$ et $g$. L'ensemble des $x$ tels que $f(x) \leqslant g(x)$ est approximativement : board.create('functiongraph',[function(x){return 0.4*(x-1)*(x-1)-1;},-3,4.5],{strokeColor:'red',strokeWidth:2,name:'',withLabel:true});board.create('functiongraph',[function(x){return 0.5*x+1;},-3,4.5],{strokeColor:'blue',strokeWidth:2,name:'',withLabel:true}); board.create('text',[3.5,3.2,'C_g'],{strokeColor:'blue'}); board.create('text',[3.7,1.4,'C_f'],{strokeColor:'red'});
    A. $[-1~;~4]$B. $]-\infty~;~-1]\cup[4~;~+\infty[$C. $[-1~;~0]\cup[3~;~+\infty[$D. $[-2~;~3]$
  4. Le diagramme en barres ci-dessous indique le nombre d'inscrits par filière dans un lycée. La filière la plus représentée est : 0 100 200 300 400 ST2S STMG Générale Pro effectif
    A. ST2SB. STMGC. GénéraleD. Pro
  5. Le tableau de signes ci-dessous correspond à une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$. $x$$-\infty$$4$$+\infty$ $f(x)$$-$bar0$+$ Parmi les expressions suivantes, celle qui pourrait convenir pour $f(x)$ est :
    A. $-2x+8$B. $x-4$C. $x+4$D. $-(x-4)$
Dérivation
  1. La dérivée de $f(x)=x^2$ est :
    A. $f'(x)=x$B. $f'(x)=2x$C. $f'(x)=2$D. $f'(x)=x^2$
  2. La dérivée de $f(x)=x^3$ est :
    A. $f'(x)=3x$B. $f'(x)=x^2$C. $f'(x)=3x^2$D. $f'(x)=3$
  3. La dérivée de $f(x)=5x+2$ est :
    A. $f'(x)=5x$B. $f'(x)=5$C. $f'(x)=2$D. $f'(x)=7$
  4. La dérivée de $f(x)=-2x^2+3x$ est :
    A. $f'(x)=-4x+3$B. $f'(x)=-2x+3$C. $f'(x)=-4x$D. $f'(x)=-2x^2+3$
  5. La dérivée de $f(x)=x^3 - 3x^2 + 5$ est :
    A. $3x^2-6x$B. $3x^2-6x+5$C. $3x^2-3x$D. $x^2-6x$
  6. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ est égal à :
    A. $f(a)$B. $f'(a)$C. $f(a)-f'(a)$D. $a$
  7. Si $f$ est dérivable et $f'(x) > 0$ sur un intervalle $I$, alors sur $I$, $f$ est :
    A. décroissanteB. croissanteC. constanteD. positive
  8. L'équation réduite de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ est :
    A. $y=f(a)(x-a)+f'(a)$B. $y=f'(a)(x-a)+f(a)$C. $y=f'(a)x+f(a)$D. $y=f(a)x+f'(a)$
  9. Soit $f(x)=x^2-4x+1$. $f'(2)$ vaut :
    A. $-3$B. $0$C. $4$D. $-4$
  10. Soit $f(x)=x^3$. La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$ a pour équation :
    A. $y=0$B. $y=x$C. $y=x^3$D. $y=3x$
Suites
  1. Pour la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=u_n+5$, $u_2$ vaut :
    A. $7$B. $10$C. $12$D. $17$
  2. Pour la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=3u_n$, $u_3$ vaut :
    A. $9$B. $27$C. $81$D. $3$
  3. Une suite $(u_n)$ vérifie $u_{n+1}-u_n = 4$ pour tout $n$. Cette suite est :
    A. arithmétique de raison $4$B. géométrique de raison $4$C. constanteD. arithmétique de raison $-4$
  4. Une suite $(u_n)$ à termes strictement positifs vérifie $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = 3$ pour tout $n$. Cette suite est :
    A. arithmétique de raison $3$B. géométrique de raison $3$C. géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$D. constante
  5. Une suite arithmétique $(u_n)$ vérifie $u_0=10$ et $u_1=8$. Sa raison est :
    A. $2$B. $-2$C. $8$D. $18$
  6. Une suite géométrique à termes strictement positifs $(u_n)$ vérifie $u_0=5$ et $u_1=10$. Sa raison est :
    A. $2$B. $5$C. $\dfrac{1}{2}$D. $15$
  7. Une suite arithmétique est décroissante lorsque sa raison $r$ vérifie :
    A. $r>0$B. $r<0$C. $r=0$D. $r>1$
  8. Une suite géométrique à termes strictement positifs est strictement croissante lorsque sa raison $q$ vérifie :
    A. $q<1$B. $q>1$C. $q=1$D. $q<0$
  9. Modéliser une baisse annuelle de $10\,\%$ revient à utiliser :
    A. une suite arithmétique de raison $-10$B. une suite géométrique de raison $0,1$C. une suite géométrique de raison $0,9$D. une suite géométrique de raison $1,1$
  10. Une ville perd $50$ habitants par an. Le nombre d'habitants suit :
    A. une suite géométrique de raison $0,5$B. une suite arithmétique de raison $-50$C. une suite arithmétique de raison $50$D. une suite géométrique de raison $-50$
Probabilités et statistiques
  1. On lance un dé équilibré à six faces. La probabilité d'obtenir un nombre pair est :
    A. $\dfrac{1}{6}$B. $\dfrac{1}{3}$C. $\dfrac{1}{2}$D. $\dfrac{2}{3}$
  2. Sur $100$ élèves, $40$ sont en ST2S. On en choisit un au hasard. La probabilité qu'il soit en ST2S est :
    A. $\dfrac{4}{100}$B. $\dfrac{40}{100}$C. $\dfrac{60}{100}$D. $\dfrac{1}{40}$
  3. Dans un univers probabilisé $\Omega$, on considère deux évènements $A$ et $B$. La fréquence conditionnelle « $A$ sachant $B$ » se calcule par :
    A. $\dfrac{\text{card}(A\cap B)}{\text{card}(\Omega)}$B. $\dfrac{\text{card}(A\cap B)}{\text{card}(B)}$C. $\dfrac{\text{card}(A)}{\text{card}(B)}$D. $\dfrac{\text{card}(B)}{\text{card}(A)}$
  4. Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants. Si $P(A)=\dfrac{1}{2}$ et $P(B)=\dfrac{2}{5}$, alors $P(A \cap B)$ vaut :
    A. $\dfrac{9}{10}$B. $\dfrac{1}{10}$C. $\dfrac{2}{10}$D. $\dfrac{2}{7}$
  5. La probabilité d'un événement certain est :
    A. $0$B. $\dfrac{1}{2}$C. $1$D. $0,9$
  6. Dans une urne, il y a $2$ boules rouges et $3$ boules blanches. On tire une boule au hasard. La probabilité d'obtenir une boule rouge est :
    A. $\dfrac{2}{3}$B. $0,4$C. $0,6$D. $\dfrac{1}{2}$
  7. Une expérience de Bernoulli a pour issues :
    A. trois résultatsB. deux résultats : succès et échecC. un seul résultatD. six résultats
  8. Pour la loi de Bernoulli de paramètre $p=\dfrac{3}{10}$, l'espérance vaut :
    A. $\dfrac{3}{10}$B. $\dfrac{7}{10}$C. $\dfrac{1}{2}$D. $1$
  9. Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $0$ et $10$ avec les probabilités respectives $\dfrac{6}{10}$ et $\dfrac{4}{10}$. Son espérance est :
    A. $5$B. $4$C. $6$D. $10$
  10. On lance deux pièces équilibrées indépendantes. La probabilité d'obtenir deux « face » est :
    A. $\dfrac{1}{2}$B. $\dfrac{1}{4}$C. $\dfrac{1}{3}$D. $\dfrac{3}{4}$
  11. La médiane de la série $1~;~3~;~5~;~7~;~9$ est :
    A. $3$B. $5$C. $25$D. $4$
  12. La moyenne de la série $2~;~4~;~6~;~8$ est :
    A. $4$B. $5$C. $6$D. $20$
  13. On considère $A = 10 + 0,1 + 0,001$. $A$ est égal à :
    A. $10,111$B. $10,101$C. $10,11$D. $10,001$
  14. Parmi les nombres $A=\dfrac{1}{10}$, $B=\dfrac{1}{100}$, $C=0,15$, $D=\dfrac{2}{5}$, le plus grand est :
    A. $A$B. $B$C. $C$D. $D$
  15. Le classement par ordre croissant des nombres $\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{1}{5}$ est :
    A. $\dfrac{1}{3}<\dfrac{1}{4}<\dfrac{1}{5}$B. $\dfrac{1}{5}<\dfrac{1}{4}<\dfrac{1}{3}$C. $\dfrac{1}{4}<\dfrac{1}{5}<\dfrac{1}{3}$D. $\dfrac{1}{3}<\dfrac{1}{5}<\dfrac{1}{4}$
 Exercices — Fonctions et polynômes On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$.
  1. Calculer $f(0)$ et $f(2)$.
  2. Calculer $f'(x)$.
  3. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$.
  4. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
  5. En déduire la valeur du minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$.
 On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -x^2 + 6x - 5$.
  1. Calculer $f(1)$ et $f(5)$. Que remarque-t-on ?
  2. Vérifier que $f(x) = -(x-1)(x-5)$.
  3. En déduire les racines de $f$ et le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$.
  4. Calculer $f'(x)$.
  5. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
 On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x$.
  1. Calculer $f'(x)$.
  2. Montrer que $f'(x) = 3(x-1)(x+1)$.
  3. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$.
  4. Dresser le tableau de variations de $f$.
  5. Préciser les coordonnées des extremums locaux.
 Lecture graphique et tangente On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $[-1~;~5]$. Sa courbe représentative $\mathcal{C}$ est donnée ci-dessous. On note $T$ la tangente à $\mathcal{C}$ au point $A$ d'abscisse $2$. board.create('functiongraph',[function(x){return 0.25*x*x*x-1.5*x*x+2*x-1;},-1,5.1],{strokeColor:'red',strokeWidth:2,name:'C',withLabel:true});board.create('functiongraph',[function(x){return -x+1;},-1.5,5],{strokeColor:'blue',strokeWidth:2,name:'T',withLabel:true});board.create('point',[2,-1],{name:'A',fixed:true,size:3,color:'black',label:{offset:[-8,-12]}});
  1. Lire graphiquement $f(0)$, $f(3)$ et $f(5)$.
  2. Lire graphiquement la valeur de $f'(2)$ (coefficient directeur de $T$).
  3. Déterminer une équation de la tangente $T$.
  4. Dresser le tableau de variations approximatif de $f$ sur $[-1~;~5]$ à partir du graphique.
  5. Résoudre graphiquement sur $[-1~;~5]$ l'inéquation $f(x) > 0$.
 Modélisation : bénéfice d'une entreprise Une petite entreprise fabrique des savons. Le bénéfice réalisé, exprimé en milliers d'euros, par la vente de $x$ centaines de savons (avec $0 \leqslant x \leqslant 10$) est modélisé par : $$B(x) = -x^2 + 8x - 7.$$
  1. Calculer $B(0)$ et $B(1)$. Interpréter $B(1)$.
  2. Vérifier que $B(x) = -(x-1)(x-7)$.
  3. Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $B(x) = 0$.
  4. Étudier le signe de $B(x)$ sur $[0~;~10]$ et préciser l'intervalle des ventes qui rapportent un bénéfice.
  5. Calculer $B'(x)$ et dresser le tableau de variations de $B$ sur $[0~;~10]$.
  6. Pour quelle quantité vendue le bénéfice est-il maximal ? Quel est ce bénéfice maximal ?
  7. Le graphique ci-dessous représente $B$. Vérifier la cohérence avec les résultats précédents. board.create('functiongraph',[function(x){return -x*x+8*x-7;},0,10],{strokeColor:'red',strokeWidth:2,name:'B',withLabel:true});
Modélisation : concentration d'un principe actif La concentration, en mg/L, d'un principe actif dans le sang $t$ heures après son administration est modélisée, pour $0 \leqslant t \leqslant 6$, par : $$C(t) = -t^3 + 6t^2.$$
  1. Calculer $C(0)$, $C(2)$ et $C(6)$. Interpréter.
  2. Calculer $C'(t)$.
  3. Vérifier que $C'(t) = -3t(t-4)$.
  4. Étudier le signe de $C'(t)$ sur $[0~;~6]$.
  5. Dresser le tableau de variations de $C$ sur $[0~;~6]$.
  6. À quelle heure la concentration est-elle maximale ? Quelle est cette concentration maximale ?
  7. Le graphique ci-dessous donne la courbe de $C$ (en ordonnée : $1$ carreau = $10$ mg/L). Déterminer graphiquement un intervalle de temps pendant lsquel la concentration est supérieure ou égale à $20$ mg/L. board.create('functiongraph',[function(x){return (-x*x*x+6*x*x)/1;},0,6],{strokeColor:'red',strokeWidth:2});board.create('segment',[[0,20],[6.5,20]],{dash:2,strokeColor:'gray',name:'y=20',withLabel:true,label:{position:'rt',offset:[6,8]}});
Tangente et lecture graphique On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 4x + 3$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.
  1. Calculer $f(1)$ et $f(3)$.
  2. Vérifier que $f(x) = (x-1)(x-3)$.
  3. En déduire les racines de $f$ et le signe de $f(x)$.
  4. Calculer $f'(x)$.
  5. Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $2$.
  6. Sur le graphique ci-dessous, repérer $\mathcal{C}$ et $T$. Vérifier la cohérence. board.create('functiongraph',[function(x){return x*x-4*x+3;},-1,5],{strokeColor:'red',strokeWidth:2,name:'C',withLabel:true});board.create('functiongraph',[function(x){return -1;},-1,5],{strokeColor:'blue',strokeWidth:2,name:'T',withLabel:true});board.create('point',[2,-1],{fixed:true,size:3,color:'black',withLabel:false});
  7. Justifier graphiquement que, pour tout $x$, $f(x) \geqslant -1$.
 Modélisation : nombre de patients dans un service Dans un service hospitalier, le nombre (en dizaines) de patients présents en fonction du temps $t$ (en heures, $0 \leqslant t \leqslant 12$) est modélisé par : $$N(t) = -t^2 + 10t + 20.$$
  1. Calculer $N(0)$ et interpréter.
  2. Calculer $N(5)$ et interpréter.
  3. Calculer $N'(t)$.
  4. Étudier le signe de $N'(t)$ sur $[0~;~12]$.
  5. Dresser le tableau de variations de $N$ sur $[0~;~12]$.
  6. À quelle heure le nombre de patients est-il maximal ? Quel est ce nombre maximal ?
  7. Le graphique ci-dessous représente $N$ (en ordonnée : $1$ carreau = $10$ patients). À partir de quelle heure environ le service compte-t-il moins de $40$ patients ? (Réponse graphique.) board.create('functiongraph',[function(x){return (-x*x+10*x+20)/1;},0,12],{strokeColor:'red',strokeWidth:2,name:'N',withLabel:true});board.create('segment',[[0,40],[12.5,40]],{dash:2,strokeColor:'gray',name:'y=40',withLabel:true,label:{position:'rt',offset:[6,8]}});
Exercices — Suites Une biologiste étudie une population de mouches. Au jour $0$, il y a $200$ mouches. Chaque jour, la population augmente de $50$ mouches. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de mouches au jour $n$. On a donc $u_0 = 200$.
  1. Combien compte-t-on de mouches au jour $1$ mouches. Que vaut $u_2$ ?
  2. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
  3. Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ? Préciser sa raison.
  4. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.
  5. À l'aide de la relation de récurrence, déterminer $u_5$, $u_6$, $u_7$.
  6. On complète le tableur ci-dessous : la colonne A contient les valeurs de $n$ (à partir de $0$) et la colonne B les valeurs de $u_n$.
    AB
    1$n$$u_n$
    2$0$$200$
    3$1$…
    4$2$…
    5$3$…
    6$4$…
    Quelle formule, destinée à être étirée vers le bas, faut-il saisir dans la cellule B3 pour que la colonne B affiche les valeurs de la suite $(u_n)$ ?
  7. On écrit aussi un programme Python pour calculer $u_n$. Compléter la ligne~$4$ ci-dessous pour que la fonction mouche(n) retourne la valeur de $u_n$. def mouches(n): u = 200 for i in range(n): u = .... # a completer return u Quelle valeur renvoie mouches(3) ? Et mouches(5) ?
 Un placement initial de $1\,000$ € rapporte $5\,\%$ d'intérêts chaque année. On note $u_n$ le capital, en euros, après $n$ années (donc $u_0 = 1\,000$).
  1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} = 1,05 \, u_n$.
  2. En déduire la nature de la suite $(u_n)$ et préciser sa raison.
  3. Calculer $u_1$ et $u_2$.
  4. Donner le sens de variation de la suite $(u_n)$.
  5. La feuille de calcul ci-dessous donne les valeurs arrondies à l'unité des premiers termes.
    AB
    1$n$$u_n$
    2$0$$1\,000$
    3$1$$1\,050$
    4$2$$1\,103$
    5$3$$1\,158$
    6$5$$1\,276$
    7$10$$1\,629$
    8$15$$2\,079$
    9$20$$2\,653$
    10$25$$3\,386$
    Quelle formule, destinée à être étirée vers le bas, faut-il saisir dans la cellule B3 pour obtenir les termes de la suite $(u_n)$ ?
  6. À partir de combien d'années le capital dépasse-t-il $2\,000$ € ?
 En 2024, une population de 10 000 individus atteints d'une maladie diminue chaque année de $20\,\%$ grâce à un traitement. On note $u_n$ la population après $n$ années. On a $u_0 = 10\,000$.
  1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} = 0,8 \, u_n$.
  2. En déduire la nature de la suite $(u_n)$ et préciser sa raison.
  3. Donner le sens de variation de la suite.
  4. Calculer $u_1$ et $u_2$.
  5. La feuille de calcul ci-dessous donne des valeurs arrondies.
    AB
    1$n$$u_n$
    2$0$$10\,000$
    3$1$$8\,000$
    4$2$$6\,400$
    5$3$$5\,120$
    6$5$$3\,277$
    7$8$$1\,678$
    8$10$$1\,074$
    9$15$$352$
  6. Quelle formule, destinée à être étirée vers le bas, faut-il saisir dans la cellule B3 pour obtenir les termes de la suite $(u_n)$ ?
  7. À partir de quelle année la population passera-t-elle pour la première fois en dessous de $2\,000$ individus ?
  8. Pour automatiser cette recherche, on écrit le programme Python suivant : u = 10000 n = 0 while u >= 2000: u = 0.8 * u n = n + 1 print(n)
    1. Expliquer ce que représente la variable n à la fin du programme.
    2. À l'aide du tableau précédent, donner la valeur affichée par le programme.
    3. Comment modifier la condition du while pour obtenir le premier rang à partir duquel la population passe en dessous de $500$ individus ?
 On considère la suite $(u_n)$ définie par : $$\left\{\begin{array}{l} u_0 = 80\\ u_{n+1} = 0,5 \, u_n + 20 \end{array}\right.$$ On admet que la feuille de calcul ci-dessous donne des valeurs approchées des premiers termes :
AB
1$n$$u_n$
2$0$$80$
3$1$$60$
4$2$$50$
5$3$$45$
6$4$$42,5$
7$5$$41,25$
8$6$$40,625$
  1. Vérifier les valeurs de $u_1$ et $u_2$ par le calcul.
  2. Cette suite est-elle arithmétique ? Géométrique ? Justifier.
  3. Quelle formule, destinée à être étirée vers le bas, faut-il saisir dans la cellule B3 d'un tableur pour obtenir les termes de la suite $(u_n)$ ?
  4. Conjecturer le sens de variation de la suite.
  5. Vers quelle valeur semblent se rapprocher les termes de la suite ?
 Comparaison de deux modèles Deux modèles concurrents décrivent l'évolution du nombre d'usagers (en milliers) d'un service de santé. On note $a_n$ et $b_n$ le nombre d'usagers après $n$ années.
  • Modèle A : $a_0 = 50$ et, pour tout $n \geqslant 0$, $a_{n+1} = a_n + 10$.
  • Modèle B : $b_0 = 50$ et, pour tout $n \geqslant 0$, $b_{n+1} = 1,1 \, b_n$.
  1. Donner la nature de chaque suite et préciser la raison.
  2. Calculer $a_1$, $a_2$, $a_3$ et $b_1$, $b_2$, $b_3$.
  3. On fournit le tableur suivant :
    ABC
    1$n$$a_n$$b_n$
    2$0$$50$$50$
    3$1$$60$$55$
    4$5$$100$$81$
    5$10$$150$$130$
    6$15$$200$$209$
    7$20$$250$$336$
    Donner le sens de variation de chacune des deux suites.
  4. Quel modèle prévoit le plus grand nombre d'usagers au bout de $20$ ans ?
  5. Représenter schématiquement sur un même repère l'allure des nuages de points $(n~;~a_n)$ et $(n~;~b_n)$.
 On modélise le nombre d'oiseaux d'une réserve. On note $u_n$ le nombre d'oiseaux l'année $2025+n$. On sait que $u_0 = 400$. Partie A. Premier modèle : chaque année, la population augmente de $25$ oiseaux.
  1. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
  2. Donner la nature et la raison de la suite $(u_n)$.
  3. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$.
  4. En quelle année la population dépassera-t-elle $600$ oiseaux pour la première fois ?
  5. Pour automatiser la recherche, on utilise le programme Python ci-dessous. u = 400 n = 0 while u <= 600: u = u + 25 n = n + 1 print(n)
    1. Que représente la variable n à la fin du programme ?
    2. Déterminer la valeur affichée par le programme.
Partie B. Second modèle : chaque année, la population augmente de $5\,\%$. On note $v_n$ la population, avec $v_0 = 400$.
  1. Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
  2. Donner la nature et la raison de la suite $(v_n)$.
  3. Donner le sens de variation de cette suite.
  4. Calculer $v_1$ et $v_2$.
  5. On admet que $v_{10} \approx 651$. Comparer les deux modèles pour l'année 2035.
  6. Dans l'algorithme de la partie A, par quoi faut-il remplacer la ligne 4 pour que le programme corresponde à ce second modèle ?
 On considère la suite $(u_n)$ définie par récurrence : $$\left\{\begin{array}{l} u_0 = 500\\ u_{n+1} = 0,9\, u_n + 50 \end{array}\right.$$
  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
  2. Cette suite est-elle arithmétique ? Géométrique ? Justifier.
  3. On donne le tableur :
    AB
    1$n$$u_n$
    2$0$$500$
    3$1$$500$
    4$2$$500$
    5$5$$500$
    6$10$$500$
    7$20$$500$
    Que peut-on conjecturer sur la suite $(u_n)$ ?
  4. On modifie le premier terme : on pose $w_0 = 600$ et $w_{n+1} = 0,9 \, w_n + 50$. Calculer $w_1$, $w_2$, $w_3$. Que semble-t-il se passer pour la suite $(w_n)$ ?
 Dans un hôpital, le nombre de patients d'un service est suivi chaque semaine. On note $v_n$ ce nombre à la semaine $n$. On admet : $$v_0 = 120 \quad\text{et, pour tout } n \in \mathbb{N},\quad v_{n+1} = v_n - 10.$$
  1. Donner la nature de la suite $(v_n)$ et préciser sa raison.
  2. Calculer $v_1$, $v_2$, $v_3$.
  3. Donner le sens de variation de la suite.
  4. On donne le tableur :
    AB
    1$n$$v_n$
    2$0$$120$
    3$1$$110$
    4$5$$70$
    5$7$$50$
    6$8$$40$
    7$10$$20$
    8$12$$0$
    À partir de quelle semaine le nombre de patients devient-il strictement inférieur à $50$ ?
  5. Cette modélisation est-elle pertinente à long terme ? Justifier.
  6. On écrit le programme Python ci-dessous pour chercher la première semaine où $v_n$ est strictement inférieur à $50$. v = 120 n = 0 while v >= 50: v = v - 10 n = n + 1 print(n) Compléter le tableau suivant en indiquant les valeurs successives des variables v et n lors de l'exécution du programme.
    Étapeinitial1234567
    v$120$$110$………………
    n$0$$1$………………
    Quelle valeur est affichée par le programme ? Cohérence avec la question 4. ?
 Exercices — Probabilités Dans un lycée de $1\,000$ élèves, les filières sont réparties selon le tableau suivant :
ST2SSTMGGénéraleTotal
Filles$200$$150$$250$$600$
Garçons$50$$150$$200$$400$
Total$250$$300$$450$$1\,000$
On choisit un élève au hasard. Les probabilités seront données sous forme de fraction irréductible.
  1. Quelle est la probabilité que cet élève soit une fille ?
  2. Quelle est la probabilité qu'il soit en ST2S ?
  3. Quelle est la probabilité qu'il soit une fille et en ST2S ?
  4. Sachant que cet élève est une fille, quelle est la probabilité qu'elle soit en ST2S ?
  5. Sachant que cet élève est en ST2S, quelle est la probabilité qu'il soit une fille ?
  6. Les événements « être une fille » et « être en ST2S » sont-ils indépendants ? Justifier.
 Un test de dépistage a été pratiqué sur $500$ personnes. Les résultats sont consignés dans le tableau :
MaladeNon maladeTotal
Test positif$45$$10$$55$
Test négatif$5$$440$$445$
Total$50$$450$$500$
On choisit une personne au hasard. Les probabilités seront données sous forme de fraction irréductible.
  1. Quelle est la probabilité que la personne soit malade ?
  2. Quelle est la probabilité qu'elle ait un test positif ?
  3. Sachant qu'elle est malade, quelle est la probabilité que son test soit positif ? (sensibilité du test)
  4. Sachant qu'elle n'est pas malade, quelle est la probabilité que son test soit négatif ? (spécificité du test)
  5. Sachant que le test est positif, quelle est la probabilité que la personne soit réellement malade ?
  6. Quelle est la probabilité que la personne soit concernée par une erreur de diagnostic (faux positif ou faux négatif) ?
 Dans une urne, il y a $10$ boules indiscernables au toucher : $4$ rouges, $3$ vertes et $3$ bleues. On tire successivement et avec remise deux boules. On note les événements :
  • $R_1$ : « la première boule est rouge » ;
  • $R_2$ : « la seconde boule est rouge ».
On illustre la situation par l'arbre de probabilités suivant : R̄₁ R₁ R̄₂ R₂ R̄₂ R₂ … … … … … …
  1. Justifier que $P(R_1) = \dfrac{4}{10}$.
  2. Recopier et compléter l'arbre de probabilités donné ci-dessus.
  3. En déduire la probabilité d'obtenir deux boules rouges.
  4. Quelle est la probabilité de n'obtenir aucune boule rouge ?
  5. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement une boule rouge ?
 Une joueuse de basket réussit chaque lancer franc avec une probabilité de $\dfrac{8}{10}$. Les lancers sont indépendants. Elle effectue $3$ lancers. On note $X$ le nombre de paniers marqués et$R$ l'évènement « le lancer franc est réussi » et $\overline{R}$ son évènement contraire.
  1. Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous : R̄ R … … R̄ R R̄ R … … … … R̄ R R̄ R R̄ R R̄ R … … … … … … … …
  2. Calculer la probabilité qu'elle marque les $3$ lancers.
  3. Calculer la probabilité qu'elle rate les $3$ lancers.
  4. Calculer la probabilité qu'elle marque exactement $2$ paniers sur les $3$.
  5. Calculer $P(X \geqslant 1)$ et interpréter.
 Un service de pédiatrie a accueilli sur une période d'un mois $200$ enfants. Le tableau suivant donne la répartition selon l'âge et le motif de consultation.
Moins de 6 ans6 ans et plusTotal
Vaccination$40$$20$$60$
Consultation maladie$60$$80$$140$
Total$100$$100$$200$
On choisit la fiche d'un de ces enfants au hasard. Les probabilités seront données sous forme de fraction irréductible.
  1. Quelle est la probabilité que l'enfant ait moins de $6$ ans ?
  2. Quelle est la probabilité qu'il soit venu pour une vaccination ?
  3. Quelle est la probabilité qu'il ait moins de $6$ ans et soit venu pour une vaccination ?
  4. Sachant que l'enfant a moins de $6$ ans, quelle est la probabilité qu'il soit venu pour une vaccination ?
  5. Sachant qu'il est venu pour une vaccination, quelle est la probabilité qu'il ait moins de $6$ ans ?
  6. Les événements « avoir moins de $6$ ans » et « venir pour une vaccination » sont-ils indépendants ? Justifier.
 On lance successivement deux pièces de monnaie équilibrées, indépendantes. On note $X$ le nombre total de « face » obtenu.
  1. Compléter l'arbre de probabilités ci-dessous pour qu'il illustre la situation. P F P F P F … … … … … …
  2. Déterminer la loi de probabilité de $X$ en recopiant et complétant le tableau ci-dessous. On donnera les valeurs possibles et les probabilités associées en fractions.
    Nombre de piles $k$$0$$1$$2$
    $P(X=k)$   
  3. Calculer $P(X \geqslant 1)$.
  4. Calculer l'espérance $E(X)$ de $X$. Interpréter ce résultat.
 Dans un jeu, on tire au hasard une carte parmi $20$ cartes :
  • $5$ cartes portent le numéro $1$ ;
  • $10$ cartes portent le numéro $2$ ;
  • $5$ cartes portent le numéro $5$.
Soit $X$ la variable aléatoire égale au numéro obtenu.
  1. Déterminer la loi de probabilité de $X$ en recopiant et complétant le tableau ci-dessous. Les probabilités seront exprimées en fractions de dénominateur $20$.
    Numéro $k$$1$$2$$5$
    $P(X=k)$   
  2. Calculer $P(X \leqslant 2)$.
  3. Calculer l'espérance $E(X)$ de $X$.
  4. On joue en misant $2$ € et on reçoit un nombre d'euros égal à la valeur tirée. Le jeu est-il favorable au joueur ?
 Dans une population, $10\,\%$ des personnes sont atteintes d'une certaine maladie. On choisit successivement et indépendamment $2$ personnes au hasard dans cette population. On note $M$ l'évènement « la personne choisie est malade » et $\overline{M}$ sont évènement contraire.
  1. Justifier que cette expérience peut être modélisée par la répétition de $2$ épreuves de Bernoulli indépendantes. Préciser le paramètre $p$.
  2. Compléter l'arbre de probabilités ci-dessous pour qu'il illustre la stuation. M M̄ M M̄ M M̄ … … … … … …
  3. Calculer la probabilité que les deux personnes soient malades.
  4. Calculer la probabilité qu'aucune des deux ne soit malade.
  5. Calculer la probabilité qu'exactement une personne sur les deux soit malade.