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Pour chaque question de ce QCM, une seule réponse est exacte ; aucune justification n'est demandée. Entourer la bonne réponse.
Question 1. Un article coûte $60$ €. Il est vendu avec une remise de $15\,\%$. Le nouveau prix est :
Réponse A.
$10\,\%$ de $60$ vaut $6$, donc $5\,\%$ (la moitié de $10\,\%$) vaut $3$, ainsi $15\,\%$ de $60$ vaut $6+3$ $=$ $9$.
Le prix après remise est donc de $51$ €.
Question 2. Un prix augmente de $10\,\%$ puis augmente encore de $10\,\%$. Le taux d'évolution global est :
Réponse B.
Une augmentation de $10\,\%$ correspond à un coefficient multiplicateur de $1{,}1$. Pour deux augmentations successives, le coefficient global est $1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21$ (on se rappelle que $11\times 11 =121$).
Ainsi, l'évolution globale est de $+21\,\%$.
Question 3. $(2 \times 10^3)^2$ est égal à :
Réponse B.
$(2 \times 10^3)^2 = 2^2 \times (10^3)^2 = 4 \times 10^6$.
Question 4. L'inéquation $-2x + 6 \leqslant 0$ a pour ensemble de solutions :
Réponse A.
Rappel de cours. Quand on divise (ou multiplie) une inégalité par un nombre négatif, on doit changer le sens de l'inégalité.
On résout étape par étape :
Ainsi, $\mathcal{S} = [3\,;\,+\infty[$.
Question 5. La droite d'équation $y = 3x - 2$ passe par le point :
Réponse A.
Pour $x = 0$, $y = 3 \times 0 - 2 = -2$. Donc la droite passe par $(0\,;\,-2)$.
Question 6. On considère la droite $(d)$ représentée ci-dessous. L'équation réduite de $(d)$ est :
Réponse B.
La droite passe par les points $(0\,;\,-1)$ et $(2\,;\,0)$. Son coefficient directeur vaut $\dfrac{0 - (-1)}{2 - 0} = \dfrac{1}{2}$ et son ordonnée à l'origine est $-1$. Ainsi, $y = \dfrac{1}{2}x - 1$.
Question 7. Les solutions de l'équation $2x^2 - 14 = 0$ sont :
Réponse C.
Rappel de cours. Pour $a > 0$, l'équation $x^2 = a$ admet deux solutions : $x = \sqrt{a}$ ou $x = -\sqrt{a}$.
On isole $x^2$ puis on conclut :
Ainsi, $\mathcal{S} = \{-\sqrt{7}\,;\,\sqrt{7}\}$.
Question 8. Le nombre $M = \dfrac{1 - \frac{1}{5}}{1 + \frac{1}{5}}$ vérifie :
Réponse A.
$M = \dfrac{1 - \frac{1}{5}}{1 + \frac{1}{5}} = \dfrac{\frac{4}{5}}{\frac{6}{5}} = \dfrac{4}{5} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.
Question 9. Le plus grand des nombres entre $\sqrt{200}$, $15$, $12\sqrt{2}$ et $\dfrac{23}{2}\sqrt{2}$ est :
Réponse C.
On compare les carrés (tous les nombres étant positifs et la fonction carrée étant strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$ :
$(\sqrt{200})^2 = 200$,
$15^2 = 225$,
$(12\sqrt{2})^2 = 144 \times 2 = 288$,
$\left(\dfrac{23}{2}\sqrt{2}\right)^2 = \dfrac{529}{4} \times 2 = \dfrac{529}{2} = 264{,}5$.
Ainsi, $12\sqrt{2}$ est le plus grand.
Question 10. On considère la fonction $f$ définie sur $[-4\,;\,3]$ dont on a tracé la courbe représentative $\mathcal{C}$ ci-dessous. Quelle est la solution de l'inéquation $f(x) \leq 4$ ?
Réponse C.
Méthode graphique. Pour résoudre $f(x) \leqslant 4$ graphiquement :
On lit que la courbe est en dessous de $y = 4$ sur deux portions :
Ainsi, $\mathcal{S} = [-4\,;\,-1] \cup [0\,;\,3]$.
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x) = -\dfrac{4}{3}x^2 - \dfrac{2}{15}x + \dfrac{2}{5}.$$
Rappel de cours. Pour montrer une égalité du type $f(x) = g(x)$, on peut développer le membre de droite et vérifier qu'il est égal au membre de gauche.
On développe l'expression $-\dfrac{4}{3}\left(x - \dfrac{1}{2}\right)\left(x + \dfrac{3}{5}\right)$ :
Ainsi, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x) = -\dfrac{4}{3}\left(x - \dfrac{1}{2}\right)\left(x + \dfrac{3}{5}\right)$.
$f(x) = 0 \Leftrightarrow -\dfrac{4}{3}\left(x - \dfrac{1}{2}\right)\left(x + \dfrac{3}{5}\right) = 0$. D'après la règle du produit nul (avec $-\dfrac{4}{3} \neq 0$), on obtient :
D'après le tableau, $f(x) \geqslant 0 \Longleftrightarrow x \in \left[-\dfrac{3}{5}\,;\,\dfrac{1}{2}\right]$.
Rappel de cours. Identité remarquable : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
On développe le membre de droite :
Ainsi, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x) = -\dfrac{4}{3}\left(x + \dfrac{1}{20}\right)^2 + \dfrac{121}{300}$.
Le carré d'un nombre réel étant toujours positif, pour tout $x \in \mathbb{R}$ on a : $\left(x + \dfrac{1}{20}\right)^2 \geqslant 0$.
Ainsi, la différence $f(x)= \dfrac{121}{300}-\dfrac{4}{3}\left(x + \dfrac{1}{20}\right)^2 $ est maximale lorsque $\left(x + \dfrac{1}{20}\right)^2$ vaut $0$ c'est-à-dire lorsque $x = -\dfrac{1}{20}$.
Ainsi, $f$ admet un maximum égal à $\dfrac{121}{300}$, atteint en $x = -\dfrac{1}{20}$.
Une fonction $f$ est impaire sur $\mathcal{D}$ si pour tout $x \in \mathcal{D}$, on a $-x \in \mathcal{D}$ et $f(-x) = -f(x)$.
$x \in ]a\,;\,b[$ se traduit par $a < x < b$.
Relation de Chasles : pour trois points $A$, $B$, $C$ du plan, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.
En situation d'équiprobabilité, $P(A) = \dfrac{\text{Nombre de cas favorables} }{\text{Nombre de cas possibles}}$.
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L'algorithme Python ci-dessous permet de définir une fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
Pour $x = 3{.}2$, on a $x \geqslant 3$ (donc la première condition $x < 3$ est fausse) et $x \leqslant 6$ (donc la seconde condition $x > 6$ est fausse aussi). Aucune des deux modifications n'est appliquée et $y$ garde sa valeur initiale. Ainsi, $f(3{.}2) = 8$.
Quelle ligne du programme s'applique ? On a $\dfrac{25}{4} = 6{,}25$. Donc $\dfrac{25}{4} > 6$, la condition x > 6 est vraie : la valeur de $y$ devient $\dfrac{x}{4} + \dfrac{13}{2}$.
On calcule alors $f\!\left(\dfrac{25}{4}\right)$ étape par étape :
Vérification de l'irréductibilité. $129 = 3 \times 43$ et $16 = 2^4$. Ces deux nombres n'ont aucun diviseur commun autre que $1$ : la fraction est irréductible.
Ainsi, $f\!\left(\dfrac{25}{4}\right) = \dfrac{129}{16}$.
a)
b)
On analyse la fonction $f$ par morceaux :
Le graphique a) montre une fonction croissante sur $]-\infty\,;\,3]$ (segment de $(-2\,;\,-2)$ à $(3\,;\,8)$, pente $\dfrac{8-(-2)}{3-(-2)} = 2$ ✓), puis constante égale à $8$ sur $[3\,;\,6]$, puis légèrement croissante (segment de $(6\,;\,8)$ à $(10\,;\,9)$, pente $\dfrac{1}{4}$ ✓). Cela correspond à $f$.
Le graphique b) montre au contraire une fonction décroissante sur $]-\infty\,;\,3]$ (pente $-2$) et décroissante sur $[6\,;\,+\infty[$, ce qui ne correspond pas à $f$.
Ainsi, le graphique a) représente la fonction $f$.
Dans le repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\right)$ on considère les points $A(-2\,;\,-1)$, $B(8\,;\,9)$ et $C(7\,;\,2)$.
Les trois points $A(-2\,;\,-1)$, $B(8\,;\,9)$ et $C(7\,;\,2)$ sont placés en rouge sur la figure de synthèse en fin d'exercice (question 6).
Rappel de cours. Si $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$, alors le milieu $R$ de $[AB]$ a pour coordonnées $$R\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A + y_B}{2}\right).$$
On calcule l'abscisse de $R$ :
On calcule l'ordonnée de $R$ :
Ainsi, $R(3\,;\,4)$.
L'égalité vectorielle $\overrightarrow{AS} = 2\overrightarrow{AC}$ permet de voir que le point $S$ s'obtient en translatant le point $A$ de deux fois le vecteur $\overrightarrow{AC}$.
Sur le graphique on obtient $S(16\,;5)$.
On commence par calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AR}$ :
De même : $\overrightarrow{AC}$ $=$ $\begin{pmatrix} x_C - x_A \\ y_C - y_A \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 9 \\ 3 \end{pmatrix}$ à la question 3. On calcule alors $\dfrac{2}{3}\,\overrightarrow{AC}$ :
Rappel de cours. Pour additionner deux vecteurs, on additionne leurs coordonnées une par une.
On peut maintenant calculer $\overrightarrow{AT}$ :
Ainsi, $\overrightarrow{AT} = \begin{pmatrix} 11 \\ 7 \end{pmatrix}$.
Or on a montré à la question précédente que $\overrightarrow{AT} = \begin{pmatrix} 11 \\ 7 \end{pmatrix}$. Donc par identification :
Ainsi, $T(9\,;\,6)$.
Rappel de cours. Deux droites $(MN)$ et $(PQ)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{PQ}$ sont colinéaires, c'est-à-dire s'il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{MN} = k\,\overrightarrow{PQ}$ ou alors que le déterminant de ces deux vecteurs est nul.
On a déjà $\overrightarrow{AS} = \begin{pmatrix} 18 \\ 6 \end{pmatrix}$ (question 3). On calcule $\overrightarrow{RT}$ :
On a alors :
Le déterminant des vecteurs $\overrightarrow{AS}$ et $\overrightarrow{RT}$ étant nul, les droites $(AS)$ et $(RT)$ sont parallèles.
$ARTS$ est un trapèze. Dans le quadrilatère $ARTS$, les côtés $[AS]$ et $[RT]$ sont deux côtés opposés. D'après la question précédente, les droites $(AS)$ et $(RT)$ sont parallèles. Donc $[AS]$ et $[RT]$ sont parallèles, et $ARTS$ est bien un trapèze.
$ARTS$ n'est pas un parallélogramme.
Rappel de cours. $ARTS$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AR} = \overrightarrow{ST}$ (côtés opposés égaux en tant que vecteurs).
On calcule $\overrightarrow{ST}$ :
Or on a $\overrightarrow{AR} = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix}$ (question 4.a). Comme $\begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} -7 \\ 1 \end{pmatrix}$, on a $\overrightarrow{AR} \neq \overrightarrow{ST}$.
Ainsi, $ARTS$ est un trapèze mais n'est pas un parallélogramme.
Remarque : On dit alors que $ARTS$ est un trapèze isocèle.
Rappel de cours. Si $M(x_M\,;\,y_M)$ et $N(x_N\,;\,y_N)$ dans un repère orthonormé, alors $$MN = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2}.$$
On calcule d'abord $ST^2$ pour simplifier :
On en déduit $ST$ :
Or l'énoncé nous dit que $AR = 5\sqrt{2}$. Ainsi, $ST = AR = 5\sqrt{2}$, et le trapèze $ARTS$ est bien isocèle.
Figure de synthèse :
Suite à ses cours de SNT, Louise décide de développer un nouveau logiciel pour filtrer les messages sur une messagerie électronique. Elle l'a testé pour 1000 messages et voici ses conclusions :
On note $B$ l'évènement : « le message est bienvenu ».
On note $I$ l'évènement : « le message est indésirable ».
On note $E$ l'évènement : « le message est éliminé ».
On note $C$ l'évènement : « le message est conservé ».
| Nombre de messages indésirables | Nombre de messages bienvenus | Total | |
|---|---|---|---|
| Nombre de messages éliminés | |||
| Nombre de messages conservés | |||
| Total | $1000$ |
On a $1000 \times 0{,}70 = 700$ messages indésirables, donc $300$ messages bienvenus. Sur les $700$ indésirables, $700 \times 0{,}95 = 665$ sont éliminés et donc $35$ sont conservés. Sur les $300$ bienvenus, $300 \times 0{,}02 = 6$ sont éliminés et $294$ sont conservés. Au total : $665 + 6 = 671$ messages éliminés et $35 + 294 = 329$ conservés.
| Indésirables | Bienvenus | Total | |
|---|---|---|---|
| Éliminés | $665$ | $6$ | $671$ |
| Conservés | $35$ | $294$ | $329$ |
| Total | $700$ | $300$ | $1000$ |
En situation d'équiprobabilité : $P(B) = \dfrac{300}{1000} = \dfrac{3}{10}$ et $P(E) = \dfrac{671}{1000}$.
Les évènements $B$ et $I$ sont contraires, de même que $E$ et $C$ :
$B \cap E$ : « le message est bienvenu et est éliminé ». D'après le tableau : $P(B \cap E) = \dfrac{6}{1000} = \dfrac{3}{500}$.
Description. $B \cup E$ est l'évènement « le message est bienvenu ou est éliminé ». (on peut aussi dire et/ou
Rappel de cours. Pour deux évènements $A$ et $B$, $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
On applique cette formule :
On justifiera soigneusement la réponse en utilisant un intervalle de fluctuation au seuil de $95\,\%$.
On teste l'hypothèse selon laquelle le logiciel de Louise élimine $p = 97\,\%$ des messages indésirables (comme celui de Clément). L'échantillon compte $n = 700$ messages indésirables.
L'intervalle de fluctuation au seuil de $95\,\%$ est :
La fréquence observée par Louise est $f = \dfrac{665}{700} = 0{,}95$. Or $0{,}95 \in I_F$, donc l'écart entre la fréquence observée et la proportion théorique de $97\,\%$ n'est pas significatif au seuil de $95\,\%$.
Ainsi, Louise peut raisonnablement affirmer que son logiciel est aussi performant que celui de Clément.