Mittelwertsatz der Differentialrechnung Sarmate.net --- Konvertierungsbeispiel 17 mai 2026 Differenzierbare Funktionen Eine Funktion $f \colon [a, b] \to \mathbb{R}$ heißt differenzierbar im Punkt $x_0 \in (a, b)$, falls der Grenzwert \[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \]

existiert. Die Funktion heißt differenzierbar auf $(a, b)$, wenn sie an jeder Stelle dieses Intervalls differenzierbar ist.

Der Mittelwertsatz Sei $f \colon [a, b] \to \mathbb{R}$ stetig auf $[a, b]$ und differenzierbar auf $(a, b)$. Dann existiert ein $c \in (a, b)$ mit $$ \begin{align} f'(c) & = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}. \tag{1} \end{align} $$

Geometrisch : die Sekantensteigung wird in mindestens einem Punkt von der Tangentensteigung getroffen.

Ein Spezialfall ist der Satz von Rolle : ist zusätzlich $f(a) = f(b)$, so existiert ein $c \in (a, b)$ mit $f'(c) = 0$.

 Beispiel Sei $f(x) = x^2$ auf $[0, 2]$. Dann gilt $f'(x) = 2x$ und \[ \frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \frac{4 - 0}{2} = 2. \]

Die Gleichung $2c = 2$ liefert $c = 1 \in (0, 2)$, was den Mittelwertsatz bestätigt.

 Hinweis

Dieses Dokument ist ein kurzes Beispiel zur Veranschaulichung der LaTeX-zu-mathpad-HTML-Konvertierung auf Sarmate.net. Es enthält KaTeX-Formeln, eingerahmte Sätze (tcolorbox), ausgerichtete Gleichungen (align) und klassische Gliederung.